Kurt Gödel, el hombre que caminaba con Albert Einstein.

Eran una pareja singular, por varios motivos. El que llevaba su camisa arrugada, pantalones holgados sostenidos con tirantes y sus rebeldes rizos blancos, llevaba tiempo ya sorprendiendo a los residentes de Princeton, Estados Unidos, con sus largas caminatas -algo poco común en esa época por esos lares- durante las que a menudo se le veía disfrutando de un helado. Se trataba nada menos que de Albert Einstein, quien ya para esa década de 1930 era el científico más famoso del mundo. Pero ahora lo acompañaba un hombre más joven, con una vestimenta más tradicional, gruesas gafas y una expresión austera. 

Aunque no tan famoso, era muy conocido, particularmente en los círculos académicos por haber "sacudido los fundamentos de nuestro entendimiento (…) de la mente humana", según declaró la Universidad de Princeton al otorgarle un doctorado honorario.
El acompañante de Einstein era el matemático austríaco Kurt Gödel, a menudo descrito como el más grande filósofo lógico desde Aristóteles.



 

Dos décadas y media

Ambos habían llegado a Princeton debido al Tercer Reich, uno por ser judío y el otro por escapar su destino como soldado del ejército nazi.
Ambos rechazaban la teoría cuántica, a contravía de la corriente dominante.
Y ambos compartían una experiencia que los hacía verdaderamente excepcionales: habían cambiado nuestra percepción del mundo cuando tenían 25 años de edad.
Einstein con su brillante E=mc2 y Gödel con su descubrimiento de que nunca puedes estar seguro de que 1 no es igual a 0.
Y, mucho más, en ambos casos.

Gödel nació en Moravia, actual República Checa en 1906. Estudiante excelente, se matriculó en la Universidad de Viena para estudiar física teórica aunque se dejó seducir por las matemáticas. Eran tiempos convulsos en la Europa de entre guerras, y Viena era un efervecencia intelectual.
La música dodecafónica de Schönberg, el psicoanálisis de Freud, la física cuántica de Schrödinger, la influencia de la Bauhaus de Gropius flotaban en la Viena de Wittgenstein. El joven Gödel asistía a los café donde filósofos y matemáticos conocidos como el Círculo de Viena, deslastraban a la filosofía de elementos metafísicos. A los 23 años presentó una brillante tesis de apenas once páginas y obtuvo su doctorado.

El señor "por qué"

Un año después de que Einstein probara que el tiempo, como hasta entonces había sido entendido, era ficción.
Su familia le dio el apodo de "señor por qué" y su inmensa curiosidad lo llevó a explorar desde lenguas y religiones hasta historia y matemáticas.
Fue esta última la que lo cautivó y para cuando, a los 18 años, llegó a la Universidad de Viena, ya sabía todo lo que sobre ella le podían enseñar en los cursos regulares.
Eventualmente, se interesó por la lógica matemática, "una ciencia anterior a todas las otras, que contiene las ideas y principios que subyacen a todas las ciencias", según dijo.


La revolución godeliana

Hasta el cambio del siglo pasado, la matemática ofrecía esa valiosa cualidad llamada certitud: era un mundo en el que todo era verdadero o falso, correcto o errado y si te aplicabas con tesón siempre podías llegar a descubrir cuál era cuál.
No obstante, cuando en 1900 el Congreso Internacional de Matemáticos se reunió en París el ambiente era de esperanza y pero también inseguridad.
Si bien la edificación de las matemáticas era grande y bellamente decorada, sus cimientos, llamados axiomas, habían sido sacudidos.
Su consistencia estaba siendo cuestionada y parecía que posiblemente eran paradójicos.
Pero durante el congreso, un joven llamado David Hilbert estableció un plan para reconstruir los fundamentos de las matemáticas, para hacerlos consistentes, abarcadores y libres de paradojas.
Hilbert era uno de los matemáticos más grandes que jamás haya existido, pero su plan fracasó espectacularmente debido a Kurt Gödel.

Con su tesis de doctorado, Gödel le puso punto final a ese sueño.
Demostró que había algunos problemas en las matemáticas que eran imposibles de resolver, que la brillante y clara llanura de las matemáticas era en realidad un laberinto repleto de potenciales paradojas.

  

Los teoremas de incompletitud de Gödel 

Las matemáticas de comienzos de siglo estaban en crisis. Georg Cantor había mostrado la existencia de una infinidad de infinitos. Las paradojas de Russel filtraban dudas acerca de la consistencia del edificio entero. David Hilbert había urgido a sus colegas a darle a las matemáticas la consistencia deseada: que todas las verdades pudieran deducirse de los axiomas. No imaginaban los matemáticos la conmoción que estaba por desatarse.
Son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías aritméticas.
El primer teorema de incompletitud afirma que, bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen enunciados que no pueden probarse ni refutarse a partir de ellos. En particular, la conclusión del teorema se aplica siempre que la teoría aritmética en cuestión sea recursiva, esto es, una teoría en la que el proceso de deducción pueda llevarse a cabo mediante un algoritmo.
La prueba del teorema es totalmente explícita y en ella se construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para la que dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación, y viceversa. Sin embargo, la interpretación natural de dicha sentencia en términos de números naturales es verdadera.
El segundo teorema de incompletitud es un caso particular del primero: afirma que una de las sentencias indecidibles de dicha teoría es aquella que «afirma» la consistencia de la misma. Es decir, que si el sistema de axiomas en cuestión es consistente, no es posible demostrarlo mediante dichos axiomas.
Los teoremas de incompletitud de Gödel son uno de los grandes avances de la lógica matemática, y supusieron —según la mayoría de la comunidad matemática— una respuesta negativa al segundo problema de Hilbert.


Más puntualmente

Probó que...  en cualquier sistema formal axiomático consistente que pueda expresar hechos sobre aritmética básica hay enunciados verdaderos que no se pueden probar dentro del sistema y
  • que la consistencia misma del sistema no puede ser probada dentro de ese sistema.
Son los teoremas de la incompletitud y si te dejaron confundido, no estás sólo.
El mismo Russell admitió su confusión cuando se enteró.
"¿Debemos pensar que 2 + 2 no es 4 sino 4,001?", preguntó.


Hay más verdades que las que podemos probar

Quizás es cierto que "dar una explicación matemáticamente precisa de los teoremas sólo obscurece su importante contenido intuitivo para casi cualquier persona que no sea especialista en lógica matemática", como señaló el profesor emérito de Matemáticas del Harvey Mudd College Melvin Henriksen en la revista Scientific American.
Pero por suerte han habido varios intentos de poner en palabras sencillas los teoremas de la incompletitud para que todos comprendamos la inmensidad del logro de del "señor por qué".
Lo que Gödel hizo era usar matemáticas para probar que las matemáticas no podían probar todas en matemáticas.
Mostró que en cualquier sistema hay afirmaciones que son verdaderas pero que no se puede probar que lo son.
O, como lo expresó el escritor Thomas Pynchon en su novela "El arcoíris de la gravedad", "cuando todo ha sido arreglado, cuando nada puede fallar o sorprendernos siquiera… algo lo hará".

En 1936 Alan Turing demostró que en una computadora ideal siempre existe un programa que no puede completarse en un número finito de pasos. Son los procesos no computables.

El caso es que...

Gödel cambió la forma en que entendemos qué es la matemática, y las implicaciones de su trabajo en física y filosofía nos llevan al límite de lo que podemos saber.

Los teoremas de la incompletitud revolucionaron las matemáticas e inspiraron a personas de la talla de John von Neumann, quien creó la teoría del juego y Alan Turing, el creador del modelo de las computadoras que usamos.
Más tarde, resultaron invaluables para la ciencia de la informática, pues el reconocimiento de que hay cosas que no se pueden probar marcó un límite a lo que las computadoras pueden resolver, evitando la pérdida de tiempo tratando de hacer lo imposible.
Para algunos filósofos, los teoremas demuestran que la mente humana tiene una cualidad especial que no puede ser imitada por las computadoras: nosotros podemos entender que la "oración de Göbel es verdadera" pero las máquinas no.
Los teoremas han impactado otros campos del saber y muchos apuestan que seguirán haciéndolo, entre ellos el físico matemático y filósofo Roger Penrose, quien considera que podrían ayudarnos a descubrir una nueva física que devele el misterio de la conciencia.

Gödel realizó también importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intucionista y la lógica modal, además de demostrar la existencia de soluciones paradójicas a las ecuaciones de campo de la relatividad general del famoso científico Albert Einstein, cuyos “universos rotatorios” permitirían viajar en el tiempo (sus soluciones se conocen como la métrica de Gödel o el universo de Gödel).

Charlas y temores



En 1946, después de huir del régimen Nazi y avecindarse en Estados Unidos, Gödel se convirtió en un miembro permanente del IEA (Instituto de Estudios Avanzados) de la Universidad de Princeton, lugar donde entabló una amistad legendaria con el mismo Albert Einstein, graficada en las famosas caminatas que daban juntos en las dependencias del IEA.

El propio Einstein, hacia el final de su vida, le confiaría a sus cercanos que “su propio trabajo ya no importaba mucho, pues llegaba al instituto únicamente para tener el privilegio de caminar a casa junto a Kurt Gödel”.
Iban charlando desde y hacia el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, ese exclusivo club intelectual cuyos miembros tenían una sola tarea: pensar.
A eso se siguió dedicando Gödel, con la brillantez que lo caracterizaba.



Albert Einstein y Kurt Gödel.
Albert Einstein y Kurt Gödel.

Einstein, de hecho, junto al economista Oskar Morgenstern, asesoraron a Gödel cuando éste dio su examen para obtener la ciudadanía estadounidense, preocupados de que el comportamiento impredecible de su amigo pusiera en riesgo su oportunidad. Se cuenta que cuando el juez que presidía el trámite mencionó brevemente el régimen nazi del cual había escapado, Gödel le informó que había descubierto una manera en que una dictadura pudiese instaurarse legalmente en los EE.UU., mediante una contradicción lógica que existía en la Constitución de ese país. Ni el juez ni Einstein o Morgenstern, por cierto, le permitieron a Gödel terminar la elaboración de su pensamiento y la ciudadanía norteamericana finalmente le fue entregada.

La prueba ontológica de Gödel 


Es un argumento formal para la existencia de Dios propuesto por  Kurt Gödel.  Continúa una línea de desarrollo que viene desde Anselmo de Canterbury (1033 –1109). El argumento ontológico de S. Anselmo, en su forma más resumida, es como sigue: "Dios, por definición, es lo más grande concebido. Dios existe en nuestro entendimiento. Si Dios existe en nuestro entendimiento, lo podríamos imaginar como el más grandioso por existir en la realidad. Por lo tanto, Dios tiene que existir". Una versión más elaborada fue dada por Gottfried Leibniz (1646–1716); esta es la versión que Gödel estudió e intentó aclarar con su argumentación.

La demostración, que por cierto no es de fácil comprensión para los no iniciados, es la siguiente:
-Axioma 1. (Dicotomía) Una propiedad es positiva si, y sólo si, su negación es negativa.
-Axioma 2. (Cierre) Una propiedad es positiva si contiene necesariamente una propiedad positiva.
-Teorema 1. Una propiedad positiva es lógicamente consistente (por ejemplo, existe algún caso particular).
-Definición. Algo es semejante-a-Dios si, y solamente si, posee todas las propiedades positivas.
-Axioma 3. Ser semejante-a-Dios es una propiedad positiva.
-Axioma 4. Ser una propiedad positiva (lógica, por consiguiente) es necesaria.
-Definición. Una propiedad P es la esencia de x si, y sólo si, x contiene a P y P es necesariamente mínima.
-Teorema 2. Si x es semejante-a-Dios, entonces ser semejante-a-Dios es la esencia de x.
-Definición. NE(x): x existe necesariamente si tiene una propiedad esencial.
-Axioma 5. Ser NE es ser semejante-a-Dios.
-Teorema 3. Existe necesariamente alguna x tal que x es semejante-a-Dios.
Resultado: Dios existe.




La prueba de Gödel utilizó la lógica modal (que distingue entre verdades necesarias, la que es verdadera en todos los mundos posibles, y las verdades contingentes, que es cierta en nuestro mundo, pero puede ser falsa en otro) y empleó en la definición de Dios una cuantificación explícita sobre sus propiedades, es decir, dado que la existencia necesaria es positiva, se concluye: ser como Dios es positivo. Además, la semejanza con Dios es una esencia de Dios, porque implica todas las propiedades positivas, y cualquier propiedad no positiva es la negación de alguna propiedad positiva, por lo tanto Dios no puede tener ninguna propiedad no positiva. Como cualquier objeto semejante a Dios es necesariamente existente, entonces cualquier objeto semejante a Dios en un mundo, lo es en cualquier otro mundo, por la definición de existencia necesaria. Dado la existencia de un objeto semejante a Dios en un mundo, probado anteriormente, podemos concluir que existe un objeto semejante a Dios en cualquier otro mundo posible.
Por supuesto, la comprensión de estos axiomas u razonamientos no son de fácil comprensión para el ciudadano común, aunque lo que quería Gödel, después de morir en 1978, era dejar tras de sí una teoría basada en los principios de la lógica modal que sugería que un ser superior debe existir. Este razonamiento matemático no tenía como intención convencer de la existencia de Dios, sino demostrar que el llamado “argumento ontológico” de la existencia de Dios era válido.
Los detalles de las matemáticas involucradas en la prueba ontológica de Gödel son ciertamente complicados pero, en esencia, lo que el sabio austríaco sostenía era lo siguiente: “Dios, por definición, es lo más perfecto que puede ser pensado. Si pensáramos en Dios como inexistente, entonces no sería realmente la idea de Dios, pues tendría la imperfección de no existir. Entonces, la oración ‘Dios existe’ es necesariamente verdadera. Por lo tanto, Dios existe”.
O bien: “Por definición, Dios es aquello de lo cual nada mayor puede concebirse. Por tanto, es imposible concebir que Dios no existe, pues de lo contrario podríamos concebir algo mayor que él, a saber, un Dios que sí exista. Así pues, es inconcebible que Dios no exista; luego existe.”
Si bien el argumento de Gödel no era totalmente novedoso, sí lo era el modelo matemático que propuso para probar esta idea. Sus teoremas y axiomas, entonces, pueden expresarse como ecuaciones matemáticas que se pueden rechazar o probar. Por lo pronto, recientemente, dos científicos europeos, el alemán Christoph Benzmüller, de la Universidad Libre de Berlín, y el austriaco Bruno Woltzenlogel, de la Universidad Técnica de Viena, lograron probar informáticamente el “Teorema de Dios” desarrollado a finales del siglo pasado por el matemático austriaco Kurt Gödel, que concluía que en base a los principios de la lógica debía existir un ser superior.

godel II

Si bien los científicos demostraron, usando una mayor lógica modal y un ordenador MacBook, que la argumentación de Gödel era matemáticamente correcta, aclararon que la verdadera noticia tenía que ver con la demostración de que una tecnología superior puede ayudar a la ciencia, más que con la teoría de que Dios exista o no. “Lo que se ha logrado a través de los computadores supone un éxito del genial razonamiento de Gödel. La prueba ontológica era, más que cualquier otra cosa, un buen ejemplo de algo inaccesible en las matemáticas o de la inteligencia artificial, que se ha resuelto usando la tecnología actual. El hecho de que la formalización de estos teoremas complicados se pueda realizar con computadores no profesionales abre todo tipo de posibilidades. Por eso, es totalmente increíble que el Teorema de Gödel se pueda probar de forma automática en pocos segundos o incluso menos apretando unas teclas y usando un ordenador portátil estándar».
Los críticos del “Teorema de Dios” de Gödel, por lo pronto, esgrimen que es imposible enjuiciar una demostración tan abstracta, pues incluso muchos lógico-matemáticos no han sido capaces de explicar todos los aspectos de esta prueba, y por lo tanto es muy difícil asegurar su completa naturaleza. Otros, en tanto, afirman que los cinco axiomas de la prueba de Gödel son cuestionables. De ese modo, si los axiomas de la prueba pueden ser cuestionados, entonces las conclusiones también pueden ser cuestionadas.

Muerte

Siempre vivió atormentado por temores y uno de ellos era que lo envenenaran, por lo que se rehusaba a comer a menos de que su esposa Adele probara su comida primero.  Cuando ella se enfermó y tuvo que ser hospitalizada por un largo período, Gödel prácticamente dejó de alimentarse. En el momento de su muerte pesaba 65 libras (32.5kg). El certificado de defunción en el Hospital de Princeton, el 14 de enero de 1978, dice que murió de «desnutrición e inanición causadas por perturbaciones en la personalidad».



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